Kalendarz  

Wrzesień 2021
P W Ś C Pt S N
30 31 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 1 2 3
   

Najbliższe zebranie  

Brak wydarzeń
   

Zdjęcia z zebrań  

   

Stronę odwiedza  

Odwiedza nas 22 gości oraz 0 użytkowników.

   

Bezsiatkowa metoda różnic skończonych i jej wybrane modyfikacje

Irena Jaworska, Sławomir Milewski

Bezsiatkowa Metoda Różnic Skończonych (BMRS) jest jedną z podstawowych metod komputerowej analizy problemów brzegowych mechaniki i inżynierii lądowej. Należy ona do szerokiej klasy metod bezsiatkowych, w których aproksymacja nieznanej funkcji zbudowana jest tylko i wyłącznie na węzłach, bez struktury elementu. Ta cecha odróżnia metody bezsiatkowe od powszechnie używanej do obliczeń Metody Elementów Skończonych (MES). Metody bezsiatkowe znajdują zastosowanie m.in. w problemach, w których konieczna jest częsta przebudowa dyskretyzacji, z uwagi na jej adaptację kontrolowaną rozkładem szacowanego błędu, ruchome obciążenie, ruchomy brzeg, rozwój szczeliny, dla złożonych geometrycznie obszarów, zagadnień nieliniowych itp.
Podstawowy algorytm BMRS został opracowany jeszcze w latach 70tych ubiegłego wieku przez zespół prof. J.Orkisza. Mimo to, cały czas trwają prace nad rozwijaniem jego wybranych aspektów. Jednym z aspektów jest aproksymacja wyższego rzędu, realizowana w taki sposób, aby nie było konieczności wprowadzania nowych węzłów/stopni swobody do istniejącej chmury węzłów w celu uzyskania bardziej dokładnych wyników. Jednym z jej wariantów jest podejście wielopunktowe, zaproponowane jeszcze w latach 50tych ubiegłego wieku przez Collatza, znacznie zmodyfikowane i rozszerzone w ostatnich latach. Sprowadza się ono do uwzględnienia np. wartości funkcji prawej strony równań różniczkowych we wzorach różnicowych generowanych za pomocą techniki ważonych ruchomych najmniejszych kwadratów. Innym sposobem realizacji aproksymacji wyższego rzędu jest podejście oparte o wyrazy korekcyjne operatora różnicowego, na które najczęściej składają się pochodne wyższego rzędu, które mogą być obliczane poprzez proste operacje algebraiczne. Aproksymacja wyższego rzędu znajduje zastosowanie m.in. w estymacji a-posteriori błędu rozwiązania.
Od dawna powszechne stało się łączenie różnych metod obliczeniowych. Przykładem takiej kombinacji może być połączenie cech BMRS (nieregularna chmura węzłów, lokalna aproksymacja funkcji) z symulacją Monte-Carlo (losowy wybór ścieżki postępowania), służące do przybliżonej analizy problemów brzegowych bez potrzeby rozwiązywania układów równań. Omawiane wyżej aspekty ilustrują liczne testy i przykłady.

   
© Realizacja Zbigniew Kacprzyk